什么时候能用等价无穷小

2021-08-23 20:00阅读 861

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  1. 等价无穷小什么时候不能用?
  2. 什么时候可以用等价无穷小? 只要是乘除之中就可以用吗?
  3. 求极限什么时候可以用等价无穷小
  4. 什么时候能用等价无穷小替换

等价无穷小什么时候不能用?

①被代换的量,在取极限的时候极限值不为0;

②被代换的量作为加减的元素时就不可以使用,作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换。

无穷小相当于泰勒公式展开到第一项,基本什么时候都可以用,应用条件是:等价代换的需为整个式子的因子,而不能部分代换。

等价无穷小数学分析的基础概念。它指的是变量在一定的变化过程中,从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值(极限值)。

极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法,分析的各种基本概念(连续、微分、积分和级数)都是建立在极限概念的基础之上,然后才有分析的全部理论、计算和应用.所以极限概念的精确定义是十分必要的,它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。

什么时候能用等价无穷小

扩展资料

柯西(Cauchy,A.-L.)首先较为明确地给出了极限的一般定义。他说,“当为同一个变量所有的一系列值无限趋近于某个定值,并且最终与它的差要多小就有多小”(《分析教程》,1821),这个定值就称为这个变量的极限。

其后,外尔斯特拉斯(Weierstrass,K.(T.W.))按照这个思想给出严格定量的极限定义,这就是现在数学分析中使用的ε-δ定义或ε-Ν定义等。从此,各种极限问题才有了切实可行的判别准则。在分析学的其他学科中,极限的概念也有同样的重要性,在泛函分析和点集拓扑等学科中还有一些推广。

参考资料:等价无穷小_百度百科

什么时候可以用等价无穷小? 只要是乘除之中就可以用吗?

等价无穷小代换不能随便乱用,一般来说,如果该项是参与乘法或者除法运算的话就可以用,例如
lim[x->0,ln(1 x)/sinx]
这时ln(1 x)是x的等价无穷小,sinx是x的等价无穷小,所以都可以换过来
lim[x->0,ln(1 x)/sinx]=lim[x->0,x/x]=1.
如果是参加加法减法甚至是乘幂等运算,这时视情况而定,但是,对于数学来说,如果一种方法有时有效,有时失效的话,就最好不要用,否则很容易出错,例如
lim[x->0,(x-sinx)/x^3]
如果把sinx换成x,得到极限值为0,那就错了,你用两次洛比达法则可以求一下这个极限
lim[x->0,(x-sinx)/x^3]=lim[x->0,(1-cosx)/(3x^2)]=lim[x->0,sinx/(6x)]=1/6
至于你的题目,替换也是可以的,但严格的解题,最好直接用洛比达法则求,这时分母里面的(1-cosx)与x^2/2是等价无穷小(x->0),可以替换.

求极限什么时候可以用等价无穷小

当为乘积时可用等价无穷小代换求极限
但是当加减时就需要先计算
举个例子
(sinx-tanx)/x^3 x趋近于0的极限
sinx=x o1(x) tanx=o2(x)
sinx-tanx=o1(x)-o2(x)=o(x)
[o1(x)o2(x)o(x)都是x高阶无穷小]
因为二者相减把已知的部分都抵消掉了
剩下的部分是o(x)是一个未知阶数的无穷小(只知道它比x高阶) 可能是x^2的等价无穷小 这是极限为∞ 也可能是x^3的等价无穷小 这时极限为常数 如果是x^4的等价无穷小 那么极限就是0了
所以当加减变换把已知部分抵消掉的时候不能用等价无穷小代换
否则就可以
比如说sinx tanx=2x o(x) 就是0了
还有比较特殊的情况 比如说sinx-tanx/x x趋近于0的极限
这时等价无穷小代换可得o(x)/x 因为o(x)是x的高阶无穷小 所以极限为零
总的来说就是不能肯定的时候 代换时加上高阶无穷小余项

什么时候能用等价无穷小替换

有三类条件
(1)x→0时,(2)只能在乘除运算中用无穷小代换,加减不行,(3)x的位置可以是任意小的无穷函数
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